1849年举办了高斯获博士学位50周年庆祝会，为此高斯准备了他早期对代数基本定理证明的一个新版本。由于健康状况愈来愈差，这成了他最后的著作。给他带来最大欢乐和荣誉的还是哥廷根市赠与他的荣誉公民头衔。由于他在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成就，他被选为许多科学院和学术团体的成员。

他谢绝了许多大学请他当教授的邀请而一直留在哥廷根大学的院系中，直至1855年2月23日逝世。逝世后不久就铸造了纪念他的钱币。

还不到十八岁的高斯发现了：一个正n边形可以用直尺和圆规画出当且仅当n是底下两种形式之一：k=0，1，2……十七世纪时法国数学家费马（Fermat）以为公式在k=0，1，2，3，……给出素数。

（事实上，目前只确定F0，F1，F2，F4是质数，F5不是）。

高斯用代数方法解决了二千多年来的几何难题，而且找到正十七边形的直尺与圆规的作法。

他是那么的兴奋，因此决定一生研究数学。

据说，他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正十七边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。

1799年高斯呈上他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：任何一元代数方程都有根。

这结果数学上称为“代数基本定理”。

事实上在高斯之间有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证是严密的，高斯是第一个数学家给出严密无误的证明，高斯认为这个定理是很重要的，在他一生中给了一共四个不同的证明。

高斯没有钱印刷他的学位论文，还好费迪南公爵给他钱印刷。

1807年高斯开始在哥廷根大学任数学和天文学教授，并任该校天文台台长。高斯在许多领域都有卓越的建树。

如果说微分几何是他将数学应用于实际的产物，那么非欧几何则是他的纯粹数学思维的结晶。

他在数论，超几何级数，复变函数论，椭圆函数论，统计数学，向量分析等方面也都取得了辉煌的成就。

高斯关于数论的研究贡献殊多。他认为“数学是科学之王，数论是数学之王，”。

他的工作对后世影响深远。

19世纪德国代数数论有着突飞猛进的发展，是与高斯分不开的。

二十岁时高斯在他的日记上写，他有许多数学想法出现在脑海中，由于时间不定，因此只能记录一小部份。

幸亏他把研究的成果写成一本叫《算学研究》，并且在二十四岁时出版，这书是用拉丁文写，原来有八章，由于钱不够，只好印七章，这书可以说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍“同余”这个概念。

数学家高斯有五大数学成就。

（5）正十七边形。1796年，19岁的高斯发现了如何只用一把尺子和一个圆规来构造一个正十七边形。这是自2000多年前古希腊人以来，多边形构造的首次进步。高斯用代数来证明他的构造，桥接了代数和几何之间的一个关键鸿沟。

（4）谷神星的轨道。这颗矮行星最初是由天文学家朱塞普?皮亚齐在1800年发现的，谷神星在天文学家计算出它的轨道之前，就已经消失在太阳的后面。高斯创立了一种叫做最小二乘法的模型，这是一种计算观测误差的方法，可以准确预测这颗矮行星的位置。直到现在，高斯发明的这种计算方法仍然是在两个变量之间找到精确关系的首选方法。

（3）天体运动理论。1809年，高斯出版了关于天体在太空中运动的专著《天体运动理论》。该著作中描述了被大行星干扰的小行星运动，简化了轨道预测的繁琐数学运算。时至今日，高斯当年的研究仍然是天文学计算的基石。

（2）第一台电报机。这也许不是高斯最著名的成就，但相当有创意。在1833年，高斯和物理学教授威廉?韦伯发明了第一台电磁电报机。在哥廷根大学，他们俩一直在磁学领域不断合作。他们建造了第一台电报机，以连接天文台和物理研究所，这个系统能够每分钟发送8个单词。

（1）日光反射镜。从1818年到1832年，高斯对汉诺威进行了大地测量。在这段时间里他发明了日光反射镜，这是一种大大改善长距离土地测量的仪器。日光反射镜用一面镜子把太阳光反射到遥远的地方，可以达到几百千米远，这能够为测量员标记位置。可惜，这种仪器需要在天气晴朗的情况下才有很好的效果。到了20世纪80年代，GPS技术取代了它